哥德巴赫猜想表法个数的两种渐近公式

Goldbach猜想是解析数论领域中的一项重大课题，自1742年提出以来，迄今仍未得到证明。英国数学家Hardy和Littlewood曾提出过一个著名的猜想，即对于每一个充分大的偶数，其Goldbach猜想的表法个数或素数对的个数（双记，下同）由以下渐近公式给出：

．

其中，第一个连乘积取过所有奇素数，第二个连乘积取过的所有奇素因子。

尽管这一猜测性的结果得到了广泛认同并对Goldbach猜想的研究起到了实质性的推动作用，但本研究发现，Goldbach猜想的表法个数其实还存在另外一种同样重要的渐近公式。

1.筛法与其应用

假定为任一不小于6的有限偶数，命，，，，，取，如果用表示连续的素数之积，则

．                                                                         （1）

容易看出，末项不大于、通项公式为

的集合与是两个首项与公差互素的逆序等差数列。

一般地，在集合与的个元素中将奇素数3、5、…、的所有倍数逐次分离出去之后，其剩余元素的总数可用下式表示

．                                                        （2）

当取到时，由式（2）得

．                                                                     （3）

当时，根据Mertens定理，由式（3）可得

．                                                                （4）

式中，为Euler常数，其数值为：

．

定义．若双等差数列全集

，

则称为Goldbach集合。

若属于集合的某一元素中的两个整数或有序数对均是素数，即称为素数对。显而易见，偶数所含的素数对皆存在于该集合中。

同上，在集合的个元素中将含有奇素数3、5、…、所有倍数的元素逐次分离出去之后，其剩余元素的总数可用下式表示

．                                             （5）

式中：（表示整除，表示不整除，下同）。

当取到时，由式（5）得

．                                                                   （6）

一般地，当取到时，由于集合与的剩余元素中仍存有一定量的合数，故集合的剩余元素不可能完全是素数对。因此，当偶数较小时，式（6）虽能得到较为准确的计算结果，但并不能以此做为Goldbach猜想表法个数的渐近公式。

2.素数分布

由于集合与是互为逆序的等差数列，故其元素中均有个奇素数。就集合的剩余元素而言，当中不大于的素数被逐次分离出去的同时，中不小于的素数也被分离了出去，故和的剩余元素中均有 个奇素数。如果用、分别表示的任一剩余元素中两个整数奇素数分布的个数，则二者的平均值可统一用下式表示

．                                                                 （7）

其中，。

3. Hardy-Littlewood公式

命表示集合的任一剩余元素中素数对的个数，则

．                                                                （8）

如果用表示集合被分离出去的元素中素数对的总数，对式（8）进行求和运算，取，并注意到式（2）、式（5）和式（7），则当取到时，可得

．                                          （9）

如果用表示不大于的奇素数个数，则式（9）可以简化为

．                                                         （10）

由式（10）可以推出

．                                                 （11）

当时，由式（11）可得

．                                                （12）

对于（）的一类偶数，由式（10）可推出Goldbach猜想表法个数的上界公式

．                                                      （13）

式中：为Euler函数（下同）。

当时，由式（13）可得

．                                                                  （14）

对于（，或为大于的素数）的各类偶数，由于（），故由式（10）可推出Goldbach猜想表法个数的下界公式

．                                                     （15）

当时，由式（15）可得

．                                                       （16）

4.新型公式

对于集合的任一剩余元素，若其中的素数对个数以表之，合数对个数以表之，其余数对个数以表之，则显然有

．                                                       （17）

根据三者与、之间的关系，可以推出

．                                               （18）

将式（18）代入式（17），并整理得

．                                              （19）

如果用表示集合被分离出去的元素中素数对的总数，对式（19）进行求和运算，取，并注意到式（2）、式（5）和式（7），则当取到时，由于，故得

．                    （20）

如果用表示不大于的奇素数的个数，则式（20）可以简化为

．                                                 （21）

当时，由式（21）并注意到式（3）和式（4），可得

．                                                     （22）

对于（）的一类偶数，可直接由式（21）推出Goldbach猜想表法个数的上界公式

．                                             （23）

当时，由式（23）可得

．                                                                 （24）

对于（，或为大于的素数）的各类偶数，由于（），故由式（21）可直接得到Goldbach猜想表法个数的下界公式

．                                              （25）

当时，由式（25）可得

．                                                          （26）

如果将式（20）中的花括号打开，则其第一项为集合的剩余元素中素数的总数，第二项为集合的剩余元素的总数，由于二者之差大于0，故根据鸽笼原理，Goldbach猜想表法个数出现断崖式下跌至0的情况不可能发生。

以上两种公式均可准确地描述Goldbach猜想表法个数的分布规律，可以相互印证。总的来说，当偶数较小时，新型公式略微小于Hardy-Littlewood公式的计算结果；当偶数趋近于无穷大时，二者之比为。因此，就寻求Goldbach猜想表法个数的下界而言，前者优于后者；但就寻求Goldbach猜想表法个数的上界而言，后者优于前者。

5.结论

本研究结果对Goldbach猜想的证明具有一定的参考价值，同时对Polignac猜想与孪生素数猜想、Sophie German素数猜想乃至生素数猜想等数学难题的解决也有一定的借鉴意义。