撰文 科尔姆 · 马尔卡希（Colm Mulcahy，美国斯贝尔曼学院的数学教授）
达纳 · 理查兹（Dana Richards，美国乔治·梅森大学的计算机科学教授）
翻译 孟令磊
一个巧妙的数学谜题，就像一个高超的魔术，不仅能激发人们的兴趣，同时还能揭示数学真理，并推动重要问题的研究。至少，在马丁·加德纳（Martin Gardner）看来，数学谜题就是有着这样的魅力。马丁·加德纳这个名字，一直与《科学美国人》的传奇专栏——“数学游戏”（Mathematical Games）联系在一起，他曾为这一专栏撰稿达四分之一个世纪。他拥有独特的数学魔法技能，每月一次地为读者展示一个个重要而又奇妙的数学谜题，也正是因为这样，他有着来自全球各地的大量拥趸。读者中既有默默无闻的普通人，也有声名显赫的知名人士，他们将“数学游戏”专栏比喻为导师，正是这个专栏，指引他们走上了专业数学或者相关领域的道路。
加德纳为人谦逊。他既不追求各种奖项，也不热衷于名誉。即便如此，他仍写下了 100 多本书，书中涉及的内容广度令人惊讶，这些内容在科学与人文之间搭建起了一座桥梁。这些书引起了许多公众人物的关注和尊敬。获得过普利策奖的认知科学家候世达（Douglas Hofstadter）称赞他为“本世纪美国最伟大的智者之一”。古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德（Stephen Jay Gould）对他的评论是：“独树一帜的、最明亮的灯塔，他坚守着理性和科学，与围绕我们的神秘主义和反智主义对阵。”语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）则这样描述加德纳对当代知识文化的贡献：“对于重要的高深问题，无论是探讨的范围、深度还是对问题的理解，他都是独一无二的”。
尽管在 20 世纪 80 年代初期，加德纳就不再为专栏定期撰稿，但他的卓越影响力一直延续到了今天。加德纳于 2010 年去世，生前他完成了很多本书，还写下了多篇综述文章，到现在，他的粉丝群跨越了几代人。读者们仍然会举行活动来庆祝他的生日，阅读“数学游戏”专栏做出一些新发现。对这一具有开创性意义的专栏来说，要表达我们的尊重与纪念，可能最好的方式就是再次阅读专栏。我们对加德纳的工作报以敬意，也许会让新一代人去思考，为什么到了 2014 年，趣味数学仍然重要。
在 1956 年 12 月份的“数学游戏”专栏中，加德纳展示了一种名为“六角折变体”的结构，这是用一张涂有不同颜色的纸条，折叠而成的一个平面六角结构。六角折变体可以多次扭转和铺平，从而显示 6 种不同图案。
从逻辑到六角折变体
加德纳在数学圈非常有名望，但从传统意义上来说，他并不是一名数学家。20 世纪 30 年代中期在芝加哥大学求学时，他主修的是哲学，这一专业使得他对逻辑很擅长，但缺乏数学训练（尽管他曾旁听了一门叫做“初等数学分析”的课程）。然而，他十分精通数学趣题。他的父亲是一位地理学家，向他介绍了在上个世纪之交非常有名的两位趣味数学题创造者——山姆· 劳埃德（Sam Loyd）和亨利·厄内斯特·杜登尼（Henry Ernest Dudeney）。15 岁开始，加德纳定期在一些魔术杂志上发表文章，在文章中他经常会探讨魔术和拓扑学之间相通的内容。拓扑学是数学的一个分支，主要研究图形在不被撕裂的条件下变化（如被延展、扭曲或者变形）时，其不变的性质。例如，一个有手柄的咖啡杯和一个甜甜圈的拓扑结构是相同的，因为它们均为具有一个洞的光滑曲面。
1948 年，加德纳搬到纽约市，在那里他和叶史瓦大学的数学教授耶谷提耳·金斯伯格（Jekuthiel Ginsburg）成为了朋友。金斯伯格还是《数学手稿》（Scripta Mathematica）的编辑，这是一本旨在向普通读者传播数学的杂志，每季度出版一次。金斯伯格有这样一个观点：“并不是非得成为画家才能欣赏美术作品，也并不是非得成为音乐家才能欣赏美妙的音乐。我们想要证明的是，一个人不必成为数学家，也能够领略到数学的形式与形态之美，甚至是一些抽象的概念。”在一个适当的时机，加德纳为杂志撰写了一系列数学逻辑方面的文章，看起来这似乎是受到了金斯伯格观念的影响。
1952 年，加德纳在《科学美国人》上发表了他的第一篇文章，探讨的是可以解决基本逻辑问题的机器。杂志编辑丹尼斯·弗拉纳根（Dennis Flanagan），以及在很多年前就已接管杂志的出版人杰勒德·皮尔（Gerard Piel），热切地希望能够刊登更多的数学相关的文章。1956 年，弗拉纳根和皮尔的同事詹姆斯·纽曼（James Newman）创作出版了《数学的世界》（The World of Mathematics）一书，该书十分畅销，这使得弗拉纳根和皮尔对这类文章内容更加感兴趣。同一年，加德纳寄给他们一篇关于六角折变体（hexaflexagon）的文章。六角折变体是一种折叠的纸质结构，这种结构具有独特的性质，魔术家和拓扑学家都已经对其展开了研究。这篇文章很容易就被录用了，正式刊登于当年 12 月份的杂志上。事实上，在这期杂志正式上市销售之前，加德纳就收到了邀请：每月为杂志撰写一篇同样风格的专栏文章。
加德纳最初撰写的文章都是非常初级的内容，但随着他和读者的理解水平的提高，探讨的数学内容逐减变得深奥。在某种意义上说，加德纳建立起了自己的某种社交网络，当然，通过这一社交网络传播内容，要依靠美国邮政，因此速度很慢。加德纳将自己获得的信息与大家共享。这些人原本处于隔离状态，加德纳的行动激励他们有了更多的研究和发现。从大学时代开始，他就有保存文档的习惯，因此保存了大量的、精心整理过的资料。通过自己建立的社交网络，加德纳将这些资料内容共享给大家，这让他的朋友圈逐渐扩大，同时朋友圈中的人也希望将自己的想法共享。任何给加德纳写信的人，几乎都得到了他详细的回复，他简直就像一个搜索引擎。在他的通信者和合作者中，有数学家约翰·霍顿·康韦（John Horton Conway）和佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis），艺术家 M· C · 埃舍尔（M. C. Escher）和萨尔瓦多·达利（Salvador Dali），魔术师及怀疑论者詹姆斯·兰迪（James Randi），以及作家艾萨克·阿西莫夫（Isaac Asimov）。
加德纳的社交群体是多元化的，这体现了加德纳兼收并蓄的兴趣爱好——文学、魔术、理性、物理、科幻和哲学，都是他感兴趣的内容。他是专业化时代的博学者。在每一篇文章中，他都好像能用很好的人文故事，将文章主题内容讲述出来。文章内容会令很多读者联想起一些之前可能已被忽略的想法。比如在一篇主题为“Nothing”的文章中，加德纳讨论的内容远远超出了数学概念上的零和空集（没有任何元素的集合），并且从历史、文学和哲学的角度，探讨了“Nothing”这一概念。加德纳是一个非常会讲故事的人，因此读者们争相来阅读他的专栏。他很少为一篇文章只准备一个故事结局，相反，他会耐心地收集足够的材料，从而编织出一个内容丰富的故事，故事中会包含对问题的相关见解以及对未来研究的探究。他常常要花 20 天的时间来研究问题并写作。对于向公众传播数学问题来说，专栏作家比专家更具优势，因此他认为自己需要更加努力地学习。
加德纳善于将数学问题转化为易读、有趣的内容，从而推动读者进一步地探究这些问题。以只有高中文化的家庭主妇玛乔丽·赖斯（Marjorie Rice）为例，她利用在加德纳专栏学到的知识，发现了几种新型的完全嵌合五边形（将这些五边形像铺瓷砖一样拼合在一起，不会有任何缺口）。她写信告诉了加德纳，加德纳再将这一发现分享给数学家多里斯·沙特施奈德（Doris Schattschneider）来检验其正确性。加德纳的专栏催生了一大批新发现。1993 年，加德纳总结了 5 个读者反映最热烈的主题：索罗门· W · 戈洛姆（Solomon W. Golomb）的“多格骨牌”（polyomino），康韦的“生命游戏”（Game of Life），牛津大学罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）的非周期性平面铺砖法、RSA 加密和纽科姆悖论（Newcomb's paradox，见“纽科姆悖论：谁想成为百万富翁？”）
多格骨牌与生命游戏
这些谜题能够如此受欢迎，或许是因为，读者利用日常用品如棋盘、火柴棍、扑克牌或者废纸，在家中很容易就可以操作。1957 年 5 月，加德纳描述的戈洛姆的工作，就是这样一个实例。那时，戈洛姆刚刚研究了多格骨牌的性质。将多个全等正方形的边互相连接起来，构成的图形就是多格骨牌，二格骨牌有两个正方形，三格骨牌有 3 个，四格骨牌有 4 个，以此类推。在各种铺砖问题、逻辑问题和流行游戏（如俄罗斯方块之类的视频游戏）中，都会出现多格骨牌。读者们对这些形状都已熟知，但正如加德纳所说的那样，戈洛姆将此问题向前推进了一步，证明了“如何排列才能构成多格骨牌图案”的一些定理。
在康韦发明的“生命游戏”中，出现的一些图案就是多格骨牌，该主题刊登在 1970 年 10 月份的《科学美国人》上。这个游戏由一个包含若干方格子的二维矩形组成，每个格子内有一个细胞，细胞有“活”或“死”两种状态，而它们究竟是存活（可以增殖）还是死亡，要依照某种规则来决定。例如，周围有 2～3 个存活细胞时，这个细胞可以存活；周围没有细胞，或者有 1 个、4 个以及更多细胞时，这个细胞就会死亡。游戏在某种初始状态开始，然后这些细胞依照规则进化。“细胞自动机”（在一定规则下运转的细胞）可以在非常精细的层面上模拟复杂系统，而“生命游戏”就属于这一领域。康韦认为，他自己亲手设计的这个游戏是一台很小的双态自动机，在模拟复杂的进化性行为上，有着不可言喻的潜力。
在专栏发表后，“生命游戏”迅速引起了狂热的追崇。加德纳回忆当时的情形后说到，“全世界有计算机的数学家们都在编写生命游戏程序”。一些读者很快就做出了很多惊人的发现。数学家很早就知道，利用很少几个公理，就可以得到很多具有深远意义的定理，在上世纪 70 年代初，研究“生命游戏”的群体就已经亲身体验到这种神奇的魅力了。40 余年后，“生命游戏”仍在激发新发现：2010 年 5月，媒体报道了一种名为二阶染色体（Gemini）的新型图样，这种图样能够实现自我构建——在向一个倾斜方向移动的过程中，它可以自我复制并摧毁母体图样。而第一个可以克隆自身及规则的生命游戏复制体，也于 2013 年 11 月问世。
彭罗斯瓷砖与公共密钥
康韦还将“彭罗斯瓷砖”介绍给加德纳，这是数学家兼物理学家彭罗斯研究的一种非周期性的平面铺砖法。以此为内容写成的那期专栏文章，再次引起了轰动。这种瓷砖的特点是，包含两种不同形状的瓷砖，由于和两种玩具形状相似，这两种瓷砖分别被称为“风筝”和“飞镖”。如果每种瓷砖都可以无限量提供，通过不同的组合方式，这些瓷砖可以无空隙地覆盖无穷大的地板，这些组合方式显示了明显的非周期性特性。传统的瓷砖形状——正方形、三角形、六边形，可以以周期性的方式铺满地板。换句话说，铺好的地砖上存在很多类似的点，站在这些点上，你脚下的瓷砖形成的图样是完全相同的。但当“风筝”和“飞镖”组合时，或者其他两种或更多种彭罗斯瓷砖组合时，按照一定规则排列的时候，就不会出现这种周期性的图样。彭罗斯瓷砖拼成的图案十分优美，康韦绘制的一副瓷砖图案的草图，成为了《科学美国人》1977 年 1 月刊的封面。
“彭罗斯瓷砖”倍受追捧的主要原因是，可以生成“非周期性”的图案：如果有无数的瓷砖，可以利用它们无空缺地铺满地板，而且原始构型绝无重复。加德纳在1977年1月的专栏中介绍了彭罗斯铺砖法，在文中两种瓷砖被叫做“风筝”和“飞镖”。为了保证非周期性，瓷砖必须按照一定的规则铺设。加德纳把上边起始的构图组合叫做“无穷的星图”。
在此之后，研究彭罗斯瓷砖特性的群体取得了很多进展，比如发现了具有自相似性（self-similarity）的图样，这种图样在不同尺度上有着相似的结构，也能从分形角度来欣赏（分形也获得了广泛的关注，在很大程度是因为加德纳在 1976 年 12 月发表的专栏文章）。彭罗斯瓷砖还导致了准晶体（一种有序、非周期的结构）的发现。彭罗斯瓷砖竟然能与这些内容联系到一起，没有人会比加德纳更高兴，他评价到，“对于一个数学发现，可能最初看起来并没有什么实际价值，但最终却证明，大自然中早就存在这些规律了。这些结果就是完美的实例”。
1977 年 8 月，加德纳预见了另一个当代重要进展：“几十年后”，电子邮件将会出现在个人通讯中。基于这一预测，加德纳撰写了一篇向公众介绍 RSA 密码的专栏文章。RSA 密码是一种基于陷门函数（trapdoor function）的公共密钥加密系统，陷门函数的特点是，向一个方向计算很容易，但逆向计算则非常困难。20 世纪 70 年代中期，这种系统并不是新事物，但计算机科学家罗恩· 李维斯特（Ron Rivest）、阿迪· 沙米尔 （Adi Shamir）和伦纳德· 阿德尔曼（Leonard Adleman，RSA 就是以三位科学家名字的首字母命名的），利用大素数（prime number，仅能被 1 和自身整除的数）设计出了一种全新的陷门函数。对于两个足够大的素数乘积，要进行因子分解会非常困难，RSA 密码的安全性就是依赖这种困难性。
通过学术期刊发表研究结果之前，李维斯特、沙米尔和阿德尔曼写信给加德纳，希望能将这一发现迅速告知更多读者。加德纳十分清楚新发现的意义，并且一反常态地很快完成了专栏文章。他在文中向读者发出了一个挑战，请大家试着去解码一条信息，其中需要分解一个 129 位的整数，这在当时是一个不可能完成的任务。提出挑战之前，加德纳智慧地引用了诗人埃德加·爱伦·坡（Edgar Allan Poe）的话作为引言：“我们可以断言，目前的人类智慧，不能创造出一个人类智慧不能解码的密码”。事实也的确如此，仅仅 17 年后，一个庞大的合作组，靠着 600 多名自愿者和 1 600 台计算机，最终完成了加德纳的挑战，揭示了编码信息的内容：“神奇词语是神经质的鱼鹰。”RSA 挑战持续了很多年，直到 2007 年才结束。
后加德纳时代
1980 年，加德纳决定结束专栏写作，专注于其他的写作计划。《科学美国人》迅速找到了一位接任者：候世达。他完成了25篇专栏文章，取名“文字游戏”（Metamagical Themas）——这是数学游戏（Mathematical Games）的变形词（Metamagical Themas 与 Mathematical Games 两个单词组成字母一样，但顺序不同——译者注）。候世达的很多文章都是讨论人工智能，这是他的专业领域。这之后，A·K·德威德尼（A. K. Dewdney）接替了候世达，在7年时间里这一专栏成为了“计算机娱乐”（Computer Recreations）。随后的10年是伊安·斯图尔特（Ian Stewart）的“数学娱乐”（Mathematical Recreations）专栏。再后来丹尼斯· 萨萨 （Dennis Shasha）开设了很长时间的“头脑大冒险”（Puzzling Adventures）专栏，专栏内容基于计算和算法原理。斯图尔特曾评论到，“我们确实在努力尝试复制这一专栏的精神：以游戏的形式将重要的数学思想呈现给读者”。
过去20年里，这一专栏的精神在加德纳集会（Gathering 4 Gardner）上得到了延续。该会议每两年举办一次，仅限受邀人士参加。数学家、魔术师和数学谜题爱好者聚集在一起，希望通过数学游戏继续分享各种内容。加德纳本人参加了最初的两届会议。近些年，会议参加者的范围逐渐扩大，既有一些老朋友，如戈洛姆、康韦、埃尔温· 伯利坎普（Elwyn Berlekamp）、理查德· 盖伊（Richard Guy）和罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham），也有冉冉升起的学术新星，如计算机科学家埃里克·德迈纳（Erik Demaine）和视频专家韦·哈特（Vi Hart），还有一些非常年轻的血液——极具才华的十几岁的年轻人，如尼尔·比克福德（Neil Bickford）、朱利安·汉斯（Julian Hunts）和伊桑·布朗（Ethan Brown）。2010年加德纳去世之后，为表示对他的敬意，全球各地每年10月都会举办纪念派对，任何人都可以参加或举办这类活动。
尽管加德纳已经离开，但时至今日，我们仍有很好的理由去从他的工作中吸取灵感，去支持趣味数学。关注益智游戏和相关活动，经常会获得重要发现，正如本篇文章介绍的那些内容。加德纳的每一篇文章，几乎都引发了爱好者和专业人士的热烈讨论。他的大量专栏文章现在都可以扩展成专业书籍，这些书籍甚至可以塞满整个书架。此外，从数学的角度去考虑问题，对于培养思路的条理性和严密性是非常有价值的。加德纳认为趣味数学不仅仅是一种智力游戏，而是通往更广阔数学成就的途径。
1998 年，加德纳在生命的最后阶段，在《科学美国人》上刊登了一篇回顾性的文章，他思考到，“趣味数学和严肃数学之间的界限是很模糊的……40 年来，我一直在竭尽全力说服教育工作者，趣味数学应该纳入正规的教学课程。在教学中应该定期介绍趣味数学，这种方式能引发学生对数学的兴趣。但到目前为止，这方面的改革还没有什么进展”。
如今，互联网上有着大量的数学相关的应用、教程和博客以及社交媒体，它们能以比加德纳更快的速度，将那些志同道合的爱好者们联系起来。但这种速度可能已有了下降的趋势：对于现今基于网络的交流来说，也许很容易得到“有意思！”这样的快速回应，但只有经过仔细思考，才能真正有所收获，发现让我们感到惊奇的东西。我们相信，加德纳专栏成功的一部分原因，是他和他的读者们，不厌其烦地去交流各种思考细节和经过深思熟虑得到的答案。在现在这样一个缺乏耐心的时代，也许只有时间可以证明，新的智力游戏的群体，能否传承加德纳的使命，激励后来的人们得到新的见解和发现。
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来次自我测验吧
趣味数学题分为许多大类，这些难题吸引了各类人才来求解。其中一些谜题是十分经典的，我们选取了其中一些介绍给大家。
一些谜题仅仅需要基本推理就能解出。以一道脑筋急转弯为例：在一座建筑的一层有 3 个开关，三层有 1 个灯泡，3 个开关中只有 1个 能控制这个灯泡。另外两个开关没和任何东西相连。你可以把这些开关置于任意一种状态，然后去三楼确认一下灯泡状态。在不离开三楼的情况下，你能判断哪个开关在控制这个灯泡吗？只有一次尝试的机会。
算术密码问题更难一些，能够更好地检验益智游戏玩家的能力。在这类问题中，每个字母对应一个单一的数字。例如下图中的求和计算，你能算出每个字母对应的数字，从而使算式成立吗？
可视化谜题有助于求解几何问题。做一个底面为正方形、4 个侧面为等边三角形的实心金字塔，再做一个实心四面体，四面体的 4 个面与金字塔侧面的三角面相同。将金字塔的一个三角面和四面体的一个三角面粘贴在一起。最终形成的多面体有多少面？结果并不是 7 个！
游戏玩家们也像数学家一样，有时必须接受一些难题挑战。这些挑战也许能够反映普遍问题，也许要求严密的逻辑证明。以“连续等角多边形”这类多边形为例。这类多边形的所有相邻两边都成直角，边长逐步增长：1、2、3、4，以此类推。最简单的等角多边形有 8 个边，边长分别为 1~8，如下图所示。这是已知的连续等角多边形中，唯一能够铺成平面的形状。当然等角多边形还有很多。你能证明它们的边数一定总是 8 的倍数吗？
在许多难题中都会出现国际象棋的规则，包括“无法攻击的皇后群体”（unattacked queens）这一系列问题。试想一下，在一个 5×5 的棋盘上有 3 个白皇后和 5 个黑皇后，你能将它们合理排列，从而使这两种颜色的皇后都不能攻击对方吗？如果排除对称和旋转情况，答案只有一种。
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纽科姆悖论：谁想成为百万富翁？
马丁·加德纳在一份 1969 年的报纸上，读到哲学家罗伯特·诺齐克（Robert Nozick）撰写的文章，其中提到了一个名为“纽科姆悖论”（Newcomb's paradox）的著名问题。加德纳将这一问题作为了 1973 年 7 月和 1974 年 3 月的专栏主题。这一由理论物理学家威廉姆·纽科姆（William Newcomb）创造的思想实验，描绘了确定性和自由意志的神秘性，而且至今仍是哲学家激烈辩论的内容。
游戏中有玩家和预言家。预言家包括超智能的外星人、巫师和无所不知的神灵，他们具有预测玩家行为的天赋。玩家感知不到预言家的预测内容。在玩家面前有两个箱子：一个箱子中始终装有 1 000 美元，记为 A 箱，另外一个箱子中可能装有 1 000 000 美元，记为 B 箱。玩家可以选择只带走 B 箱，或者把两个箱子都带走。游戏开始前，预言家会预测玩家的选择。如果预言家认为玩家会只拿箱子 B，那么这个箱子就含有 1 000 000 美元的奖金。如果预言家认为玩家会拿走两个箱子，箱子 B 中就什么都没有。
悖论就这样产生了，要赢得最多的奖金，有两种相反的思考策略，但这两种策略看起来都是合理的。第一种认为，不用考虑预言家的预测，拿走两个箱子始终能获得更多奖金。如果预言家预测玩家会拿走两个箱子，玩家选择两个箱子会赢得 1 000 美元，只选择 B 箱获得 0 美元（见下表）。如果预言家预测玩家会只拿走B箱，玩家选择两个箱子就赢得 1 001 000 美元；只选B箱奖金少一点（1 000 000美元）。
另外一种观点认为，最好的选择是永远只拿 B 箱。他们的理由是，玩家的选择和预言家的预测不一致的情况，是应该忽略的，因为两者不一致时说明预言家出错了，但按定义所说，这些预言家是不可能犯错的。选择最后就变成了拿走两个箱子得到 1 000 美元，而只拿 B 箱会得到 1 000 000 美元。
加德纳的读者们做出了大量的评论，详细描述了各种各样的结果，但在哪种策略更好的问题上，仍无结论。诺齐克在最初的报道中是这样评论的，“对几乎每个人来说，如何做出选择都是完全清楚和明显的。棘手之处在于，在这一问题上，人们几乎会分为人数相等的两方，每一方中都有大量的人认为，对方的选择是愚蠢的。”
马丁·加德纳：数学世界的无冕之王 |
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