晓木虫首页学术数据库客户端
开启辅助访问 设为首页赞助得金币注册指南网站导航

 找回密码
 注册账号

QQ登录

微信登录

马丁·加德纳：数学世界的无冕之王

摘要: 撰文 科尔姆 · 马尔卡希（Colm Mulcahy，美国斯贝尔曼学院的数学教授） 达纳 · 理查兹（Dana Richards，美国乔治·梅森大学的计算机科学教授）翻译& ...
撰文 科尔姆 · 马尔卡希（Colm Mulcahy，美国斯贝尔曼学院的数学教授）  
         达纳 · 理查兹（Dana Richards，美国乔治·梅森大学的计算机科学教授）
翻译 孟令磊

一个巧妙的数学谜题，就像一个高超的魔术，不仅能激发人们的兴趣，同时还能揭示数学真理，并推动重要问题的研究。至少，在马丁·加德纳（Martin Gardner）看来，数学谜题就是有着这样的魅力。马丁·加德纳这个名字，一直与《科学美国人》的传奇专栏——“数学游戏”（Mathematical Games）联系在一起，他曾为这一专栏撰稿达四分之一个世纪。他拥有独特的数学魔法技能，每月一次地为读者展示一个个重要而又奇妙的数学谜题，也正是因为这样，他有着来自全球各地的大量拥趸。读者中既有默默无闻的普通人，也有声名显赫的知名人士，他们将“数学游戏”专栏比喻为导师，正是这个专栏，指引他们走上了专业数学或者相关领域的道路。

加德纳为人谦逊。他既不追求各种奖项，也不热衷于名誉。即便如此，他仍写下了 100 多本书，书中涉及的内容广度令人惊讶，这些内容在科学与人文之间搭建起了一座桥梁。这些书引起了许多公众人物的关注和尊敬。获得过普利策奖的认知科学家候世达（Douglas Hofstadter）称赞他为“本世纪美国最伟大的智者之一”。古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德（Stephen Jay Gould）对他的评论是：“独树一帜的、最明亮的灯塔，他坚守着理性和科学，与围绕我们的神秘主义和反智主义对阵。”语言学家诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）则这样描述加德纳对当代知识文化的贡献：“对于重要的高深问题，无论是探讨的范围、深度还是对问题的理解，他都是独一无二的”。

尽管在 20 世纪 80 年代初期，加德纳就不再为专栏定期撰稿，但他的卓越影响力一直延续到了今天。加德纳于 2010 年去世，生前他完成了很多本书，还写下了多篇综述文章，到现在，他的粉丝群跨越了几代人。读者们仍然会举行活动来庆祝他的生日，阅读“数学游戏”专栏做出一些新发现。对这一具有开创性意义的专栏来说，要表达我们的尊重与纪念，可能最好的方式就是再次阅读专栏。我们对加德纳的工作报以敬意，也许会让新一代人去思考，为什么到了 2014 年，趣味数学仍然重要。



在 1956 年 12 月份的“数学游戏”专栏中，加德纳展示了一种名为“六角折变体”的结构，这是用一张涂有不同颜色的纸条，折叠而成的一个平面六角结构。六角折变体可以多次扭转和铺平，从而显示 6 种不同图案。


从逻辑到六角折变体

加德纳在数学圈非常有名望，但从传统意义上来说，他并不是一名数学家。20 世纪 30 年代中期在芝加哥大学求学时，他主修的是哲学，这一专业使得他对逻辑很擅长，但缺乏数学训练（尽管他曾旁听了一门叫做“初等数学分析”的课程）。然而，他十分精通数学趣题。他的父亲是一位地理学家，向他介绍了在上个世纪之交非常有名的两位趣味数学题创造者——山姆· 劳埃德（Sam Loyd）和亨利·厄内斯特·杜登尼（Henry Ernest Dudeney）。15 岁开始，加德纳定期在一些魔术杂志上发表文章，在文章中他经常会探讨魔术和拓扑学之间相通的内容。拓扑学是数学的一个分支，主要研究图形在不被撕裂的条件下变化（如被延展、扭曲或者变形）时，其不变的性质。例如，一个有手柄的咖啡杯和一个甜甜圈的拓扑结构是相同的，因为它们均为具有一个洞的光滑曲面。

1948 年，加德纳搬到纽约市，在那里他和叶史瓦大学的数学教授耶谷提耳·金斯伯格（Jekuthiel Ginsburg）成为了朋友。金斯伯格还是《数学手稿》（Scripta Mathematica）的编辑，这是一本旨在向普通读者传播数学的杂志，每季度出版一次。金斯伯格有这样一个观点：“并不是非得成为画家才能欣赏美术作品，也并不是非得成为音乐家才能欣赏美妙的音乐。我们想要证明的是，一个人不必成为数学家，也能够领略到数学的形式与形态之美，甚至是一些抽象的概念。”在一个适当的时机，加德纳为杂志撰写了一系列数学逻辑方面的文章，看起来这似乎是受到了金斯伯格观念的影响。

1952 年，加德纳在《科学美国人》上发表了他的第一篇文章，探讨的是可以解决基本逻辑问题的机器。杂志编辑丹尼斯·弗拉纳根（Dennis Flanagan），以及在很多年前就已接管杂志的出版人杰勒德·皮尔（Gerard Piel），热切地希望能够刊登更多的数学相关的文章。1956 年，弗拉纳根和皮尔的同事詹姆斯·纽曼（James Newman）创作出版了《数学的世界》（The World of Mathematics）一书，该书十分畅销，这使得弗拉纳根和皮尔对这类文章内容更加感兴趣。同一年，加德纳寄给他们一篇关于六角折变体（hexaflexagon）的文章。六角折变体是一种折叠的纸质结构，这种结构具有独特的性质，魔术家和拓扑学家都已经对其展开了研究。这篇文章很容易就被录用了，正式刊登于当年 12 月份的杂志上。事实上，在这期杂志正式上市销售之前，加德纳就收到了邀请：每月为杂志撰写一篇同样风格的专栏文章。

加德纳最初撰写的文章都是非常初级的内容，但随着他和读者的理解水平的提高，探讨的数学内容逐减变得深奥。在某种意义上说，加德纳建立起了自己的某种社交网络，当然，通过这一社交网络传播内容，要依靠美国邮政，因此速度很慢。加德纳将自己获得的信息与大家共享。这些人原本处于隔离状态，加德纳的行动激励他们有了更多的研究和发现。从大学时代开始，他就有保存文档的习惯，因此保存了大量的、精心整理过的资料。通过自己建立的社交网络，加德纳将这些资料内容共享给大家，这让他的朋友圈逐渐扩大，同时朋友圈中的人也希望将自己的想法共享。任何给加德纳写信的人，几乎都得到了他详细的回复，他简直就像一个搜索引擎。在他的通信者和合作者中，有数学家约翰·霍顿·康韦（John Horton Conway）和佩尔西·戴康尼斯（Persi Diaconis），艺术家 M· C · 埃舍尔（M. C. Escher）和萨尔瓦多·达利（Salvador Dali），魔术师及怀疑论者詹姆斯·兰迪（James Randi），以及作家艾萨克·阿西莫夫（Isaac Asimov）。

加德纳的社交群体是多元化的，这体现了加德纳兼收并蓄的兴趣爱好——文学、魔术、理性、物理、科幻和哲学，都是他感兴趣的内容。他是专业化时代的博学者。在每一篇文章中，他都好像能用很好的人文故事，将文章主题内容讲述出来。文章内容会令很多读者联想起一些之前可能已被忽略的想法。比如在一篇主题为“Nothing”的文章中，加德纳讨论的内容远远超出了数学概念上的零和空集（没有任何元素的集合），并且从历史、文学和哲学的角度，探讨了“Nothing”这一概念。加德纳是一个非常会讲故事的人，因此读者们争相来阅读他的专栏。他很少为一篇文章只准备一个故事结局，相反，他会耐心地收集足够的材料，从而编织出一个内容丰富的故事，故事中会包含对问题的相关见解以及对未来研究的探究。他常常要花  20 天的时间来研究问题并写作。对于向公众传播数学问题来说，专栏作家比专家更具优势，因此他认为自己需要更加努力地学习。

加德纳善于将数学问题转化为易读、有趣的内容，从而推动读者进一步地探究这些问题。以只有高中文化的家庭主妇玛乔丽·赖斯（Marjorie Rice）为例，她利用在加德纳专栏学到的知识，发现了几种新型的完全嵌合五边形（将这些五边形像铺瓷砖一样拼合在一起，不会有任何缺口）。她写信告诉了加德纳，加德纳再将这一发现分享给数学家多里斯·沙特施奈德（Doris Schattschneider）来检验其正确性。加德纳的专栏催生了一大批新发现。1993 年，加德纳总结了 5 个读者反映最热烈的主题：索罗门· W · 戈洛姆（Solomon W. Golomb）的“多格骨牌”（polyomino），康韦的“生命游戏”（Game of Life），牛津大学罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）的非周期性平面铺砖法、RSA 加密和纽科姆悖论（Newcomb's paradox，见“纽科姆悖论：谁想成为百万富翁？”）

多格骨牌与生命游戏

这些谜题能够如此受欢迎，或许是因为，读者利用日常用品如棋盘、火柴棍、扑克牌或者废纸，在家中很容易就可以操作。1957 年 5 月，加德纳描述的戈洛姆的工作，就是这样一个实例。那时，戈洛姆刚刚研究了多格骨牌的性质。将多个全等正方形的边互相连接起来，构成的图形就是多格骨牌，二格骨牌有两个正方形，三格骨牌有 3 个，四格骨牌有 4 个，以此类推。在各种铺砖问题、逻辑问题和流行游戏（如俄罗斯方块之类的视频游戏）中，都会出现多格骨牌。读者们对这些形状都已熟知，但正如加德纳所说的那样，戈洛姆将此问题向前推进了一步，证明了“如何排列才能构成多格骨牌图案”的一些定理。

在康韦发明的“生命游戏”中，出现的一些图案就是多格骨牌，该主题刊登在 1970 年 10 月份的《科学美国人》上。这个游戏由一个包含若干方格子的二维矩形组成，每个格子内有一个细胞，细胞有“活”或“死”两种状态，而它们究竟是存活（可以增殖）还是死亡，要依照某种规则来决定。例如，周围有 2～3 个存活细胞时，这个细胞可以存活；周围没有细胞，或者有 1 个、4 个以及更多细胞时，这个细胞就会死亡。游戏在某种初始状态开始，然后这些细胞依照规则进化。“细胞自动机”（在一定规则下运转的细胞）可以在非常精细的层面上模拟复杂系统，而“生命游戏”就属于这一领域。康韦认为，他自己亲手设计的这个游戏是一台很小的双态自动机，在模拟复杂的进化性行为上，有着不可言喻的潜力。

在专栏发表后，“生命游戏”迅速引起了狂热的追崇。加德纳回忆当时的情形后说到，“全世界有计算机的数学家们都在编写生命游戏程序”。一些读者很快就做出了很多惊人的发现。数学家很早就知道，利用很少几个公理，就可以得到很多具有深远意义的定理，在上世纪 70 年代初，研究“生命游戏”的群体就已经亲身体验到这种神奇的魅力了。40 余年后，“生命游戏”仍在激发新发现：2010 年 5月，媒体报道了一种名为二阶染色体（Gemini）的新型图样，这种图样能够实现自我构建——在向一个倾斜方向移动的过程中，它可以自我复制并摧毁母体图样。而第一个可以克隆自身及规则的生命游戏复制体，也于 2013 年 11 月问世。


彭罗斯瓷砖与公共密钥

康韦还将“彭罗斯瓷砖”介绍给加德纳，这是数学家兼物理学家彭罗斯研究的一种非周期性的平面铺砖法。以此为内容写成的那期专栏文章，再次引起了轰动。这种瓷砖的特点是，包含两种不同形状的瓷砖，由于和两种玩具形状相似，这两种瓷砖分别被称为“风筝”和“飞镖”。如果每种瓷砖都可以无限量提供，通过不同的组合方式，这些瓷砖可以无空隙地覆盖无穷大的地板，这些组合方式显示了明显的非周期性特性。传统的瓷砖形状——正方形、三角形、六边形，可以以周期性的方式铺满地板。换句话说，铺好的地砖上存在很多类似的点，站在这些点上，你脚下的瓷砖形成的图样是完全相同的。但当“风筝”和“飞镖”组合时，或者其他两种或更多种彭罗斯瓷砖组合时，按照一定规则排列的时候，就不会出现这种周期性的图样。彭罗斯瓷砖拼成的图案十分优美，康韦绘制的一副瓷砖图案的草图，成为了《科学美国人》1977 年 1 月刊的封面。


“彭罗斯瓷砖”倍受追捧的主要原因是，可以生成“非周期性”的图案：如果有无数的瓷砖，可以利用它们无空缺地铺满地板，而且原始构型绝无重复。加德纳在1977年1月的专栏中介绍了彭罗斯铺砖法，在文中两种瓷砖被叫做“风筝”和“飞镖”。为了保证非周期性，瓷砖必须按照一定的规则铺设。加德纳把上边起始的构图组合叫做“无穷的星图”。

在此之后，研究彭罗斯瓷砖特性的群体取得了很多进展，比如发现了具有自相似性（self-similarity）的图样，这种图样在不同尺度上有着相似的结构，也能从分形角度来欣赏（分形也获得了广泛的关注，在很大程度是因为加德纳在 1976 年 12 月发表的专栏文章）。彭罗斯瓷砖还导致了准晶体（一种有序、非周期的结构）的发现。彭罗斯瓷砖竟然能与这些内容联系到一起，没有人会比加德纳更高兴，他评价到，“对于一个数学发现，可能最初看起来并没有什么实际价值，但最终却证明，大自然中早就存在这些规律了。这些结果就是完美的实例”。

1977 年 8 月，加德纳预见了另一个当代重要进展：“几十年后”，电子邮件将会出现在个人通讯中。基于这一预测，加德纳撰写了一篇向公众介绍 RSA 密码的专栏文章。RSA 密码是一种基于陷门函数（trapdoor function）的公共密钥加密系统，陷门函数的特点是，向一个方向计算很容易，但逆向计算则非常困难。20 世纪 70 年代中期，这种系统并不是新事物，但计算机科学家罗恩· 李维斯特（Ron Rivest）、阿迪· 沙米尔 （Adi Shamir）和伦纳德· 阿德尔曼（Leonard Adleman，RSA 就是以三位科学家名字的首字母命名的），利用大素数（prime number，仅能被 1 和自身整除的数）设计出了一种全新的陷门函数。对于两个足够大的素数乘积，要进行因子分解会非常困难，RSA 密码的安全性就是依赖这种困难性。

通过学术期刊发表研究结果之前，李维斯特、沙米尔和阿德尔曼写信给加德纳，希望能将这一发现迅速告知更多读者。加德纳十分清楚新发现的意义，并且一反常态地很快完成了专栏文章。他在文中向读者发出了一个挑战，请大家试着去解码一条信息，其中需要分解一个 129 位的整数，这在当时是一个不可能完成的任务。提出挑战之前，加德纳智慧地引用了诗人埃德加·爱伦·坡（Edgar Allan Poe）的话作为引言：“我们可以断言，目前的人类智慧，不能创造出一个人类智慧不能解码的密码”。事实也的确如此，仅仅 17 年后，一个庞大的合作组，靠着 600 多名自愿者和 1 600 台计算机，最终完成了加德纳的挑战，揭示了编码信息的内容：“神奇词语是神经质的鱼鹰。”RSA 挑战持续了很多年，直到 2007 年才结束。

后加德纳时代

1980 年，加德纳决定结束专栏写作，专注于其他的写作计划。《科学美国人》迅速找到了一位接任者：候世达。他完成了25篇专栏文章，取名“文字游戏”（Metamagical Themas）——这是数学游戏（Mathematical Games）的变形词（Metamagical Themas 与 Mathematical Games 两个单词组成字母一样，但顺序不同——译者注）。候世达的很多文章都是讨论人工智能，这是他的专业领域。这之后，A·K·德威德尼（A. K. Dewdney）接替了候世达，在7年时间里这一专栏成为了“计算机娱乐”（Computer Recreations）。随后的10年是伊安·斯图尔特（Ian Stewart）的“数学娱乐”（Mathematical Recreations）专栏。再后来丹尼斯· 萨萨 （Dennis Shasha）开设了很长时间的“头脑大冒险”（Puzzling Adventures）专栏，专栏内容基于计算和算法原理。斯图尔特曾评论到，“我们确实在努力尝试复制这一专栏的精神：以游戏的形式将重要的数学思想呈现给读者”。

过去20年里，这一专栏的精神在加德纳集会（Gathering 4 Gardner）上得到了延续。该会议每两年举办一次，仅限受邀人士参加。数学家、魔术师和数学谜题爱好者聚集在一起，希望通过数学游戏继续分享各种内容。加德纳本人参加了最初的两届会议。近些年，会议参加者的范围逐渐扩大，既有一些老朋友，如戈洛姆、康韦、埃尔温· 伯利坎普（Elwyn Berlekamp）、理查德· 盖伊（Richard Guy）和罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham），也有冉冉升起的学术新星，如计算机科学家埃里克·德迈纳（Erik Demaine）和视频专家韦·哈特（Vi Hart），还有一些非常年轻的血液——极具才华的十几岁的年轻人，如尼尔·比克福德（Neil Bickford）、朱利安·汉斯（Julian Hunts）和伊桑·布朗（Ethan Brown）。2010年加德纳去世之后，为表示对他的敬意，全球各地每年10月都会举办纪念派对，任何人都可以参加或举办这类活动。

尽管加德纳已经离开，但时至今日，我们仍有很好的理由去从他的工作中吸取灵感，去支持趣味数学。关注益智游戏和相关活动，经常会获得重要发现，正如本篇文章介绍的那些内容。加德纳的每一篇文章，几乎都引发了爱好者和专业人士的热烈讨论。他的大量专栏文章现在都可以扩展成专业书籍，这些书籍甚至可以塞满整个书架。此外，从数学的角度去考虑问题，对于培养思路的条理性和严密性是非常有价值的。加德纳认为趣味数学不仅仅是一种智力游戏，而是通往更广阔数学成就的途径。

1998 年，加德纳在生命的最后阶段，在《科学美国人》上刊登了一篇回顾性的文章，他思考到，“趣味数学和严肃数学之间的界限是很模糊的……40 年来，我一直在竭尽全力说服教育工作者，趣味数学应该纳入正规的教学课程。在教学中应该定期介绍趣味数学，这种方式能引发学生对数学的兴趣。但到目前为止，这方面的改革还没有什么进展”。

如今，互联网上有着大量的数学相关的应用、教程和博客以及社交媒体，它们能以比加德纳更快的速度，将那些志同道合的爱好者们联系起来。但这种速度可能已有了下降的趋势：对于现今基于网络的交流来说，也许很容易得到“有意思！”这样的快速回应，但只有经过仔细思考，才能真正有所收获，发现让我们感到惊奇的东西。我们相信，加德纳专栏成功的一部分原因，是他和他的读者们，不厌其烦地去交流各种思考细节和经过深思熟虑得到的答案。在现在这样一个缺乏耐心的时代，也许只有时间可以证明，新的智力游戏的群体，能否传承加德纳的使命，激励后来的人们得到新的见解和发现。

* * *
来次自我测验吧

趣味数学题分为许多大类，这些难题吸引了各类人才来求解。其中一些谜题是十分经典的，我们选取了其中一些介绍给大家。

一些谜题仅仅需要基本推理就能解出。以一道脑筋急转弯为例：在一座建筑的一层有 3 个开关，三层有 1 个灯泡，3 个开关中只有 1个 能控制这个灯泡。另外两个开关没和任何东西相连。你可以把这些开关置于任意一种状态，然后去三楼确认一下灯泡状态。在不离开三楼的情况下，你能判断哪个开关在控制这个灯泡吗？只有一次尝试的机会。

算术密码问题更难一些，能够更好地检验益智游戏玩家的能力。在这类问题中，每个字母对应一个单一的数字。例如下图中的求和计算，你能算出每个字母对应的数字，从而使算式成立吗？


可视化谜题有助于求解几何问题。做一个底面为正方形、4 个侧面为等边三角形的实心金字塔，再做一个实心四面体，四面体的 4 个面与金字塔侧面的三角面相同。将金字塔的一个三角面和四面体的一个三角面粘贴在一起。最终形成的多面体有多少面？结果并不是 7 个！

游戏玩家们也像数学家一样，有时必须接受一些难题挑战。这些挑战也许能够反映普遍问题，也许要求严密的逻辑证明。以“连续等角多边形”这类多边形为例。这类多边形的所有相邻两边都成直角，边长逐步增长：1、2、3、4，以此类推。最简单的等角多边形有 8 个边，边长分别为 1~8，如下图所示。这是已知的连续等角多边形中，唯一能够铺成平面的形状。当然等角多边形还有很多。你能证明它们的边数一定总是 8 的倍数吗？



在许多难题中都会出现国际象棋的规则，包括“无法攻击的皇后群体”（unattacked queens）这一系列问题。试想一下，在一个 5×5 的棋盘上有 3 个白皇后和 5 个黑皇后，你能将它们合理排列，从而使这两种颜色的皇后都不能攻击对方吗？如果排除对称和旋转情况，答案只有一种。

* * *

纽科姆悖论：谁想成为百万富翁？

马丁·加德纳在一份 1969 年的报纸上，读到哲学家罗伯特·诺齐克（Robert Nozick）撰写的文章，其中提到了一个名为“纽科姆悖论”（Newcomb's paradox）的著名问题。加德纳将这一问题作为了 1973 年 7 月和 1974 年 3 月的专栏主题。这一由理论物理学家威廉姆·纽科姆（William Newcomb）创造的思想实验，描绘了确定性和自由意志的神秘性，而且至今仍是哲学家激烈辩论的内容。

游戏中有玩家和预言家。预言家包括超智能的外星人、巫师和无所不知的神灵，他们具有预测玩家行为的天赋。玩家感知不到预言家的预测内容。在玩家面前有两个箱子：一个箱子中始终装有 1 000 美元，记为 A 箱，另外一个箱子中可能装有 1 000 000 美元，记为 B 箱。玩家可以选择只带走 B 箱，或者把两个箱子都带走。游戏开始前，预言家会预测玩家的选择。如果预言家认为玩家会只拿箱子 B，那么这个箱子就含有 1 000 000 美元的奖金。如果预言家认为玩家会拿走两个箱子，箱子 B 中就什么都没有。

悖论就这样产生了，要赢得最多的奖金，有两种相反的思考策略，但这两种策略看起来都是合理的。第一种认为，不用考虑预言家的预测，拿走两个箱子始终能获得更多奖金。如果预言家预测玩家会拿走两个箱子，玩家选择两个箱子会赢得 1 000 美元，只选择 B 箱获得 0 美元（见下表）。如果预言家预测玩家会只拿走B箱，玩家选择两个箱子就赢得 1 001 000 美元；只选B箱奖金少一点（1 000 000美元）。



另外一种观点认为，最好的选择是永远只拿 B 箱。他们的理由是，玩家的选择和预言家的预测不一致的情况，是应该忽略的，因为两者不一致时说明预言家出错了，但按定义所说，这些预言家是不可能犯错的。选择最后就变成了拿走两个箱子得到 1 000 美元，而只拿 B 箱会得到 1 000 000 美元。

加德纳的读者们做出了大量的评论，详细描述了各种各样的结果，但在哪种策略更好的问题上，仍无结论。诺齐克在最初的报道中是这样评论的，“对几乎每个人来说，如何做出选择都是完全清楚和明显的。棘手之处在于，在这一问题上，人们几乎会分为人数相等的两方，每一方中都有大量的人认为，对方的选择是愚蠢的。”

马丁·加德纳：数学世界的无冕之王
, ,

相关主题文章
评论

举报

很不错
评论 支持 反对

举报

楼主是超人
评论 支持 反对

举报

好帖就是要顶
评论 支持 反对

举报

真心顶
评论 支持 反对

举报

不错不错
评论 支持 反对

举报

论坛有你更精彩！
评论 支持 反对

举报

论坛有你更精彩！
评论 支持 反对

举报

谢谢您的分享！
评论 支持 反对

举报

谢谢您的分享！
评论 支持 反对

举报

好东西一定要看看！
评论 支持 反对

举报

大家都不容易！
评论 支持 反对

举报

论坛有你更精彩！
评论 支持 反对

举报

以后多分享一些这样的有价值的帖子啊
评论 支持 反对

举报

以后多分享一些这样的有价值的帖子啊
评论 支持 反对

举报

好东西一定要看看！
评论 支持 反对

举报

好东西一定要看看！
评论 支持 反对

举报

返回顶部